Theory

MMSE PET reconstruction

MMSE = Minimum-mean-square-error 最小均方差

PET成像可以被描述为$I\times J$ 个期望为$\{\lambda_{ij}\}$的Poisson变量$\mathbf{n}=\{n_{ij}\}$。

$n_{ij}$是被检测器对$j\in \{1, \dots, J\}$检测到的、来自voxel $i\in \{1, \dots, I\}$的湮灭事件数，是无法被观测到的（unobservable）
所有voxel构成的集合被称为image domain，所有检测器对构成的集合被称为projection domain

两个domains之间的统计关系常用一个系统矩阵$\{\alpha_{ij}\}$来描述。

元素$\alpha_{ij}$是发生在voxel $i$中发生的事件被检测器对$j$检测到的概率
假设系统矩阵可以从scanner geometry中得到，且已包含object-specific的衰减信息

综上，scanner检测到来自voxel $i$的事件的概率$\epsilon_i$为

$$ \epsilon_i=\sum\limits_{j}\alpha_{ij}\tag{1} $$

$\epsilon_i$也被称为voxel $i$的敏感度。

令$\mathbf{\lambda}=\{\lambda_i\}$为image domain中未知的、离散的emission density，其中$\lambda_i$代表发生在voxel $i$中的events数量

则Poisson变量$\lambda_{ij}$可记为$\lambda_{ij}=\alpha_{ij}\lambda_{i}$

考虑完备数据$\mathbf{n}$，对emission density的估计$\hat{\mathbf{\lambda}}=\{\hat{\lambda_i}\}$的似然可记为

$$ \begin{aligned}\mathcal{L}(\hat{\lambda}|\mathbf{n})&=\mathcal{P}{\hat{\lambda}}(\mathbf{n})=\prod\limits{i, j}\frac{\hat{\lambda_{ij}}^{n_{ij}}}{n_{ij}!}e^{-\hat{\lambda_{ij}}}\\ \hat{\lambda_{ij}}&=\alpha_{ij}\hat{\lambda_i}\end{aligned}\tag{2} $$

实际采集的数据往往是不完备的，记为$\mathbf{n}^{\ast}=\{n^{\ast}_j\}$。我们需要从不完备的数据中计算估计emission density $\lambda$